どんな人であれば遺言書を残すべきなの？ 

まず第一にいえることは、自分の意思で誰に何の財産をどのようにたくすのか決定したい場合、遺言書を作成したほうが良いです。
遺言書を残しておかない場合、自身がたくしたい相手に対し、何も残してあげられなくなってしまう恐れがあります。
たとえば自分の死後、配偶者に全ての財産を残したいと思っていても、相続財産は配偶者が3分の2、親が3分の1、親が亡くなっている場合は配偶者が4分の3、亡くなった配偶者の兄弟が4分の1の割合で分割されます。
遺言書に配偶者に全財産相続する内容を盛り込むことにより、法的効力が発揮されて配偶者以外の人に財産がわたることが避けられます。

・相続をする権利がない人に財産を残したい場合も遺言書の作成を

内縁の妻、愛人、子供が相続人になる場合の孫、介護などで特別お世話になった人、子供の配偶者は通常、相続権がありません。

上記の人に財産を残したいという希望がある場合には、遺言書を作成し、法律のルールにしたがった内容を盛り込むことにより、法的効力が発揮されて財産をわたすことが可能になります。

・国に財産を奪われてしまいたくない場合には遺言書を残す必要がある

誰一人として相続をする権利がある人がいない場合、基本的に亡くなったあとの遺産は国のものになります。
これだけは避けたい、それならばとくにお世話になった人にたくしたい、団体に寄付したいなど思う人もいるでしょう。
その場合には遺言書にそのことを適切に盛り込むと国に遺産を取られることを防止できます。